16.3.3 Rekursive Funktionen und die Etablierung von Eigenwerten oder Eigenstrukturen können als mathematisches Modell selbstorganisierter Prozesse bzw. ihrer Funktion dienen.

Der Wissenschaftsbereich, der sich mit selbstorganisierten, auf Rückkopplunsprozessen beruhenden Strukturbildungen, seien sie nun über längere Zeit stabil oder nur als Ereignisse und Prozesse vorübergehend in Erscheinung tretend, beschäftigt, ist unter Namen wie „Chaos-Theorie“  oder „Komplexitätstheorie“ bekannt geworden. Analysiert und simuliert werden die mathematischen Modelle, mit deren Hilfe Prozesse beschrieben werden können, die zu charakteristischen Formbildungen führen – in welchem Phänomenbereich auch immer. Dass diese Eigenwerte oder Attraktoren nicht immer stabil sind, sondern zur Bildung höchst kreativer Muster (ohne personalen Designer) führen können, zeigen mathematischen Experimente. Rekursive Funktionen sind seit der Erfindung leistungsstarker Computer in den Mittelpunkt des Interesses gerückt, da nunmehr nahezu unendlich Iterationen, d.h. die Wiederholung der immer wieder selben Operationen vorgenommen werden konnten, die einen menschlichen Mathematiker in den Wahnsinn getrieben hätten, da seine Lebenszeit nicht ausgereicht hätte sie z.B. tatsächlich bis zum Erreichen eines Fixpunkts voranzutreiben…

 

Literatur:

„[…] das lange Zeit anerkannte Paradigma

Strukturkomplexität beruht auf komplizierten vernetzten Prozessen

ist in letzter Zeit arg in Wanken geraten, den wie sich herausgestellt hat, ist es weit davon entfernt, Allgemeingültigkeit beanspruchen zu können. Vielmehr besteht scheinbar – und das ist eines der verblüffenden und höchst bemerkenswerten Ergebnisse der fraktalen Geometrie  und der Chaostheorie – beim Auftreten einer komplexen Struktur eine gute Chance, daß ihr ein sehr einfacher Prozeß zugrunde liegt. Andererseits sollte ein einfacher Prozeß uns nicht zum Irrtum verleiten, daß auch seine Folgen oder Wirkungen einfacher Art  sind.“ (S. 22)

[…]

Rückkopplungsprozessse sind in allen Wissenschaften grundlegend. In der Tat wurden sie ursprünglih von Sir Isaac Newton und Gottfried W. Leibniz von ungefähr 300 Jahren in From von dynamischen Gesetzen eingeführt; und es gehört jetzt zu den Standard-Verfahren, natürlicihe Phänomene mit Hilfe solcher Gesetze zu modellieren. DAmit wird beispielsweise Ort und Geschwindigkeit eines Teilchens zu einem gewissen Zeitpunkt aus den entsprechenden Werten zum vorangehenden Zeitpunkt festgelegt. Die Bewegung des Teilchens ist dann durch dieses Gesetz an den Tag gelegt. Es ist nicht vn Belang, ob der Prozeß diskret – d.h. stufenweise – oder kontinuierlich voranschreitet. Physiker denken gern in unendlich kleinen Zeitschritten: natura non facit saltus. Biologen andererseits pflegen oft Veränderungen von Jahr zu Jahr oder von Generation zu Generation ins Auge zu fassen.

Wir werden die Begriffe Iteration, Rückkopplung und dynamisches Gesetz als Synonyme gebrauchen. (…) Die gleiche Operation wird wiederholt ausgeführt, wobei der Ausgabewert eines Zyklus dem nächsten als Eingabewert zugeführt wird.“ (S. 23f.)

[…]

Wenn wir Iterationen betrachten, sollten wir uns eine echte Rückkopplungsmaschine vorstellen. Das dynamische Verhalten einer solchen Maschine kann durch Festsetzung gewisser äußerer Parameter gesteuert werden, vergleichbar mit Schalthebeln bei einer Maschine. Wir wollen die Grundprinzipien anhand des einfachen Beispiels einer Videorückkopplung diskutieren, die tatsächlich reale Experimente ermöglicht. Diese besondere Rückkopplungsmaschine kann aus geeigneten Geräten zusammengestellt werden. Es handelt sich dabei um eine wirkliche Maschine im ursprünglichen Sinne des Wortes. Das ist (…) ein Ausnahmefall. denn überlicherweise bezieht sich der Begriff »Rückkopplungsmaschine« auf eine abstrakte Maschine, ein »Gedankenexperiment«. Solch eine abstrakte Maschine kann mit Hilfe eines geeigneten Computerprogrammes, eines Taschenrechners oder lediglich mit Papier und Bleistift verwirklicht werden, um dien gewünschten Rückkopplungsvorgang durchzuführen.“ (S. 25)

[…]

„Eine Videokamera ist auf einen Fernsehschirm (oder Monitor) gerichtet, und was immer ins Blickfeld der Kamera gerät, wird zum Bildschirm des Fernsehgeräts geleitet. Offensichtlich gibt es nun aber einige Möglichkeiten das Bild auf dem Fermsehschirm zu beeinflussen, so daß z.B. die verschiedneen Knöpfe am Fernsehgerät (Kontrast, Helligkeit usw.) und der Fernsehkamera (Brennweite, Blende usw.) sowie die Positition der Kamera im Verhältnis zum Fernsehgerät. (…)

Jede Steuergröße hat eine Einfluß auf das Experiment, einige sogra einen recht erheblichen. (…)

Die einfachste Variable, die auf den Bilderzeugungsprozeß einen erhelblichen Einfluß hat, ist die Position der Kamera bezüblich des Bildschirms. Wann die Distanz zwischen Kamera und Bildschirm groß ist, macht das Fernsehgerät oder der Monitor nur einen kleinen Teil des Blickfeldes aus. Mir anderen Worten sehen wir einen Monitor in einem Monitor usw. (…) Die Wirkung dieses Vorgangs kann als Kompression interpretiert werden, oder dynamisch, als eine Bewegung gegen das Zentrum des Bildschirms. (…)

Der Bildschirm-im Bildschirm Effekt ist den meisten Leuten als Videorückkopplung bekannt.

(…)

Die uns bedeutend stärker interessierenden Effekte treten dann auf, wenn die Position der Kamera bezüglich des Monitors sorgfältig so gewählt wird, daß das Abbildungsverhältnis nahe bei 1 : 1 liegt. Der Effekt wächst außerordentlich, wenn die Kamera um ihre Längsachse gedreht ist, d.h. ein Bild auf dem Monitor wird von der Kamera gesehen, wie wenn es, kreisend, um irgendeinen Winkel gedreht wird. So erscheint es auf dem Bildschirm (Abbildungsverhältnis 1 : 1 vorausgesetzt) im wesentlichen in selber Größe, jedoch verdreht. Von hier an versagt jede einfache Erklärung des Mechanismus für die wilden und schönen visuellen Effekte,d ie beobachtet werden können.“ (S. 25 – 30)

Peitgen, Heinz-Otto, Hartmut Jürgens, Dietmar Saupe (1992): Bausteine des Chaos – Fraktale. Heidelberg/Stuttgart  (Springer/Klett-Cotta).

https://www.youtube.com/watch?v=0JB2CIgKd2Y

https://www.youtube.com/watch?v=3_p_dj6IhxA

https://www.youtube.com/watch?v=Ey2B3l70sWY

 




6 Gedanken zu “16.3.3 Rekursive Funktionen und die Etablierung von Eigenwerten oder Eigenstrukturen können als mathematisches Modell selbstorganisierter Prozesse bzw. ihrer Funktion dienen.”

  1. @“Strukturkomplexität beruht auf komplizierten vernetzten Prozessen.“
    @“Die Natur macht keine Sprünge.“

    Wollen Sie diese beiden Aussagen nun verifizieren oder falsifizieren bzw. bestätigen oder widerlegen?

  2. @1: Das ergibt sich zumindest in Bezug auf den ersten Punkt ziemlich klar aus dem zitierten Text: Es gibt zwar komplizierte Prozesse, aber nicht alle komplexen Strukturen sind auf komplizierte Prozesse zurückzuführen („… wie sich herausgestellt hat, ist es weit davon entfernt, Allgemeingültigkeit beanspruchen zu können“).

    Was den zweiten Punkt angeht, so ist der Sprung immer ein Aspekt der Beobachtung, d.h. es kann letztlich nicht gesagt werden, ob die Natur den Sprung macht oder nicht… (aber ich erweitere das Zitat noch ein wenig, um – vielleicht – etwas mehr Klarheit zu schaffen.

  3. @3: Das kann keiner sagen, da nicht entscheidbar ist, ob der beobachtete „Sprung“ ein Artefakt der Beobachtung ist oder Merkmal des beobachteten Phänomens…

  4. gemach, gemach …
    wenn überhaupt, dann „Sprüngli“

    Mann ♂, oh, Mann,
    habt ihr sie eichentlich noch Alle?

    Wie die Klammer-Affen …
    des kommt mir vor,
    wie Glimmer,
    und dann immer dieser Unrat …

  5. im übrigen:
    Ich weiß nicht so ganz, was das hier soll.
    Wenn ich wenigstens ein paar Prozente bekäme,
    um dem Fikus meine -noch nicht in Gänze
    durch die Mangel gedrehte –
    Gewinnerzielungs-Absichten
    zumindest andeutungsweise
    zu dokumentieren.
    … und dies bevor die sämtliche
    erdenklichen Plagen mitsamt ihren Blagen
    gedenken, sich zwischen meinen –
    ich betone – MEINEN Baum
    und dessen Borke zu setzen.

    Wald-, sowie Feld-, Wald- ,Wiesen-
    sowie -im Besonderen natürlich-
    vor allem die Wein-
    Bauern mitsamt deren Blagen haben’s
    nämlich faustdick hinter den Ohren …

    da kann man am Steilhang vor lauter Stein
    sowie nur träumen. …

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